Vielen Dank!! 
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am simplesten lässt sich das händisch anhand der Formel
Anzahl Möglichkeiten = n! (1 - 1 /1! + 1/2! - 1/3! +… + (-1)^n * 1/n!)
berechnen. Bei n=8 geht das noch relativ gut
(das ist die ausgeschriebene Summenformel in meinem Link n! * ∑ [n über k=0] (−1)^k * 1/k!)
Interessant sind dann aber eben auch gerade die Fälle n > 0 und ob es da (sicherlich) irgendwo ein Maximum in der Wahrscheinlichkeit gibt.
Divergiert gegen die 1/e Funktion
| n | neue Anordnungen | Anzahl Anordnunge insgesamt | Wahrsheinlichkeit |
|---|---|---|---|
| 2 | 1 | 2 | 50% |
| 3 | 1 | 3 | 33% |
| 4 | 9 | 24 | 37,5% |
| 5 | 44 | 120 | 36,7% |
| 6 | 265 | 720 | 36,8% |
| … | … | … | …% |
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Das ist für das Beispiel mit den Bildern (und keines darf nachher an der richtigen Stelle hängen)…
…ich meinte aber mein Briefumschlag-Beispiel.
Oder auf Bilder umgemünzt:
100 Bilder, nach dem zufälligen Umhängen sollen genau n auf ihrem alten Platz hängen. Wie ist die Wahrscheinlichkeit dafür?
Für n=0 entspricht es dem ersten Beispiel
Ich meine, dass es für n=1 (also es hängt nachher genau ein Bild wieder richtig, egal welches) eine andere Wahrscheinlichkeit gibt, genau so, wie für n=20, n=50 und n=100 (=alle hängen so wie vorher!).
Und für welches n diese Wahrscheinlichkeit ggf. maximal wird.
Ah stimmt das meintest du
Also sowas wenn ich das richtig verstehe. Nehmen wir an es gibt 4 Gemälde: Gemälde 1, 2, 3, 4. Normal hängen sie in der Reihenfolge 1234. Dann werden sie zufällig umgehangen.
Es gibt 24 Möglichkeiten die Bilder aufzuhängen
Anzahl der Möglichkeiten dass irgendein Bild an seinem Platz hängt (z=0) = 15 (Wahrscheinlichkeit 62,5% - das ist quasi das Gegenereignis der oben erwähnten 37,5%)
Anzahl der Möglichkeiten dass genau ein Bild an seinem Platz hängt (z=1) = x (Wahrscheinlichkeit x%)
das ist schon komplexer und ich weiß gar nicht ob es sich so einfach berechnen lässt
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P(genau 1) müsste doch P(mind. 1) - P(mind. 2) sein, oder?
Kann man dann sicher irgendwie induktiv lösen…
…hab aber so direkt auch keine Ahnung, wie ich das machen sollte.
Stochastik/Statistik ist nicht gerade meine Lieblingsdisziplin 
Möchte das hier jetzt auch nicht zu weit treiben.
Die Frage von @Jammerschaf hast du ja korrekt beantwortet.
Dann beleben wir ihn doch gleich wieder
Hab jetzt aus Interesse mal eine Tabelle gemacht, wie viele mögliche ergebnisse es gibt, wenn die Würfel der Größe nach angeordnet werden
Jetzt muss ich nur noch eine allgemeine Formel dafür finden 
meinst du mit „erste Zahl“ die größte Zahl?
Weil ich kann ja auch noch ne 6 werfen, wenn ich als erstes eine 2 geworfen habe
Die erste Zahl ist die, die vorne liegt, wenn ich sie sortiere
Also ja, die größte Zahl
also so beim ersten Durchdenken:
Das kann man induktiv lösen…
Wie du siehst ist die Differenz in den Spaltenwerten bei 3 Würfeln immer dem Wert in der Zelle drüber bei 2 Würfeln.
passt in den anderen Zeilen ab der Hälfte aus irgendeinem Grund nicht mehr
Müsste aber, imo. Man kann das Problem für n Würfel ja auf (n-1) reduzieren. Für die (n-1) sollte es sich ja so verhalten wie im Induktionsschritt vorher?
Danke dir, das dürfte es gewesen sein
Habs jetzt nochmal überprüft und festgestellt, dass ich beim Zählen eine Zahl vergessen hatte
Von dort habe ich dann weiter extrapoliert, ohne nachzuprüfen
Hier ist nochmal die korrigierte Tabelle, die grünen Werte habe ich nachgezählt, die anderen ausgerechnet
Damit sollten wir dann zumindest eine induktive Formel (Fibbonacci like) hinbekommen.
Hab aber gerade gar keine Zeit da genauer drüber nachzudenken…
…vielleicht ist induktiv auch der völlig falsche Ansatz.
Nur noch ein Gedanke:
Die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen Möglichkeiten sind aber nicht gleich.
Beispiel 2 Würfel: (6,6) und (1,1) ist jeweils 1/36, während alle anderen jeweils 1/18 sind (auf die „43“ als Ergebnis kommt man halt sowohl durch (3,4) als auch (4,3)…
…mein Hirn ist aber grad echt nicht fit genug dafür.
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Ja, das ist mir durchaus bewusst
Hab ich auch vorhin bei der Berechnung der Wahrscheinlichkeit berücksichtigt
Für die Liste hier ist mir das aber egal, da will ich einfach nur ne Formel für die mögliche Anzahl an Werten
Hm. Also da muss ne Formel möglich sein (auch eine Explizite, eigentlich)
M(n,g) sei die Anzahl an Möglichkeiten bei n Würfeln mit größter (erster) Zahl g.
Dann gilt doch:
M(n,g) = M(n,g-1) + M(n-1, g) für n,g €N und n>1 , g € [2…6]
sowie
M(n, 1) = 1 für alle n € N
Da wir zusätzlich M(2, g) = g haben und deshalb für die Summe hier der Gauß mit n(n+1)/2 zuschlägt, sollte sich doch ne explizite Formel irgendwie erarbeiten lassen.
Vielleicht geh ich’s aber auch viel zu umständlich an.
Interessant ist, dass sich der Ratio der Summen irgendwie Richtung 2 bewegt (vlt drunter?) wär interessant, ob das konvergiert.
Hab inzwischen ne Summenformel gefunden, die ganz gut aussieht
Ich mag nur keine Summenformeln 
dann zeig doch mal 
je für 3, 4 und 5 Würfel
ah, sieht doch eigentlich ganz übersichtlich aus.
man könnte das Produkt der Brüche auch noch als allgemeines Produkt (mit dem großen Pi) laufend von 2 bis n schreiben.
Und das x ist doch einfach nur 6, oder?
Die Frage ist jetzt nur: was bringt uns das Wissen um die Formel?
X ist die vorderste Zahl
Um die Gesamtzahl an Möglichkeiten herauszufinden, müsste man wiederum eine Summe bilden von 1 bis 6, die all die Werte addiert 
Keine Ahnung
Ich warte immer noch drauf, dass ich irgendwann mal auf ne krasse Formel stoße und dann berühmt werde 
Immer, wenn du eine Formel findest, ist die Chance groß, dass Euler sie schon vorher hatte.
Rekursiv ist da auf jeden Fall der richtige Weg, würde ich sagen.
M(1,g)=1 ist der Basis-Fall.
Und dann gilt:
M(n,g)= \sum_{k=0}^{g-1}M(n-1, g-k)
Du legst den ersten Würfel fest und hast dann n-1 Würfel, die maximal g sein dürfen.
Das führt dann zu M(2,g)=g und M(3,g)=(g^2-g)/2
Für die Summenausdrücke aber immer wieder neue geschlossene Formeln zu finden, ist selbst nicht unbedingt trivial.
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wenn jemand peer-reviewen möchte, gern. bin heut nicht so auf der Höhe
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