Meine Vermutung nach ein bisschen Recherche:
Da es ja trotzdem Ringe der Macht (Feuer, Wasser, Luft) waren, musste die Macht ja irgendwo herkommen. Auch wenn Sauron die Ringe nie physisch hatte um Einfluss zu nehmen, muss es ja anscheinend bei der Herstellung einen Part geben, in dem die Macht „hinzugefügt“ wird. Bei den 7 und 9 Ringen hat Sauron entsprechend durch seinen Zugang noch einen Hauch böses hinzugefügt, was ihm bei den 3 Elbenringen verwehrt blieb.
Aber da die 3 Ringe trotzdem mit einer von Sauron erlernten Technik geschmiedet wurden und diese entsprechend dadurch Macht besaßen, waren diese auch mit dem einen Ring verbunden. Dadurch hat Sauron, nachdem er den einen Ring geschmiedet hat, auch die drei Elbenringe wahrgenommen. Die Träger (Gil-Galad, Cirdan, Galadriel) haben umgekehrt Sauron wahrgenommen und deswegen die Ringe aus Vorsicht/Angst/Zorn abgenommen und erst wieder getragen als Sauron besiegt war bzw. den einen Ring verloren hatte. Siehe Silmarillion:
But the Elves were not so lightly to be caught. As soon as Sauron set the One Ring upon his finger they were aware of him; and they knew him, and perceived that he would be master of them, and of all that they wrought. Then in anger and fear they took off their rings.
The Silmarillion V Of the Rings of Power and the Third Age
tl;dr:
Die Ringe erhielten die Macht aufgrund des Erschaffungsprozesses, den Celebrimbor und Sauron gemeinsam „entwickelten“. Lediglich bei den 7 und 9 Ringen hatte Sauron im Nachgang entsprechend die Möglichkeit die Ringe zu korrumpieren und seinen bösen Einfluss darauf anzuwenden. Aber die Verbundenheit/Macht war bereits durch den Erschaffungsprozess gegeben und als der eine Ring mit der Macht zerstört wurde gab es auch keine Machtquelle mehr.
Das ist mal ein lange tldr 
PS:
Ich vermute auch das so wie Sauron seine Macht in den einen Ring gesteckt hat, entsprechend ähnlich die Macht in die anderen Ringe kam, nur das er dort keinen bösen Einfluss nehmen konnte und die Herstellung lediglich beim „Basisprozess“ blieb.
Irgendwo musste es ja herkommen und als Maiar hat er ja die Möglichkeit. Vielleicht auch noch mit ein paar gelernten Tricks von seinem Mentor Melkor als Valar.